7강/8강 선형 독립과 기저벡터, 4가지 부벡터공간
이번 장의 목표
- 선형 독립과 기저벡터의 조건을 알아본다.
- Rank와 Dimension의 의미를 이해한다.
- 4가지 부벡터공간과 서로의 관계를 알아본다.
- 행렬 A의 모양에 따른 역행렬의 조건을 알아본다.
한양대 이상화 교수님의 오픈 강의로 공부한 내용을 정리한 것입니다. 강의 영상과 강의 노트는 다음 링크에서 다운받아 작성하였습니다.
http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757
Linear Independence
Basis Vectors and Dimension
C1V1 + C2V2 + ... + CnVn = 0식에서C1 = C2 = ... = Cn = 0일 때만 식이 만족할 때V1, V2, ..., Vn벡터들이 선형독립이다.Vk가 다른 벡터들의 조합으로 표현 불가할 때 선형독립이다.- 가우스 소거법의 결과로 m개의 pivot이 나왔을 때, 해당 m개의 열벡터는 서로 선형독립이다.
Rank of A
- 선형독립인 열벡터의 수
- 선형독립인 행벡터의 수
- 가우스 소거법 pivot의 개수
- C(A)의 Dimension
Spanning
- 벡터들이 어떤 공간을 구성할 때 span한다고 한다 (All linear combinations of vectors constract a vector space).
- 특정 공간을 구성하는 벡터의 조합은 유일하지 않지만, 그 조합의 Linear combination은 유일하다.
Basis Vector
- Minimum number of vectors to span the vector space : 2차원 공간을 표현하기 위해서는 적어도 2개의 벡터가 필요
- Maximum number of linearly independent vectors
- 특정 공간을 표현하는 기저 벡터는 유일하지 않지만, 특정 기저벡터의 선형 조합은 유일하다.
4 Fundamental Subspaces
A : m X n 행렬이고, Rank = r 일 때,
- Column Space C(A) : 차원은 r
- Null Space N(A) : 차원은 (n - r)
- Row Space C(AT) : 차원은 r
-
Left Null Space N(AT) : 차원은 (m - r)
- C(A) and N(AT) ⊂ Rm, C(AT) and N(A) ⊂ Rn
- Dim(C(A)) + Dim(N(AT)) = m, Dim(C(AT)) + Dim(N(A)) = n
- C(A) ⊥ N(AT), C(AT) ⊥ N(A)
Existence of Inverse
- An inverse exists only when the rank is as large as possible.
- 정사각행렬이 아닌 경우에, 긴 방향으로만 역행렬이 존재한다.
- For r = m (m <= n), if there is a right inverse, Ax=b always has a solution(infinitely many solutions) (식보다 미지수가 많은 경우)
- For r = n (m >= n), it is hard to have an inverse, but once it exists it guarantees an unique solution. (미지수보다 식이 많은 경우 - 2차원에 여러개 직선)