6강 영벡터공간과 해집합
이번 장의 목표
- Nullspace의 의미를 이해한다.
- M < N 행렬일 때 해집합을 구하는 방식을 알아본다.
한양대 이상화 교수님의 오픈 강의로 공부한 내용을 정리한 것입니다. 강의 영상과 강의 노트는 다음 링크에서 다운받아 작성하였습니다.
http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757
Null Space of A : N(A)
Ax = 0을 만족하는 x의 집합을 A의 영벡터공간(Null Space)라고 한다. Ax = 0을 계산해보면 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈에 닫혀있기 때문에 Null ‘Space’로 볼 수 있다.
Solving Ax=0 and Ax=b
Ax = 0에서 A의 역행렬이 존재한다면, 해당 식은 x = 0일 때만 성립하고, C(A)는 whole space이다(모든 b가 C(A)에 속하기 때문에). 반대로 N(A)에 x = 0 말고 다른 벡터도 존재한다면, C(A)는 whole space가 아니다.
Echelon Form U and Row Reduced Form R
N(A)가 영벡터보다 클 때, 이를 구하는 정형화된 방식을 설명한다. 가우스 소거법을 통해 free variable과 pivot variable을 구한 다음, pivot variable을 free variable으로 치환한다. 이 방법을 통해 해집합을 벡터(Special Solution)의 combination으로 표현할 수 있다.
Solving Ax=b
Ax = b의 해집합을 벡터들의 조합으로 표현하는 방법.
Row reduced form으로 A와 b를 변형하여 조건에 맞는 b를 하나 정한다. 임의의 b를 대입하여 마찬가지로 free variable과 벡터들(Special Solution + Particular Solution)의 조합으로 해집합을 표현한다.
종합
Finding the solution Ax = b (where A is m by n matrix (m<n),
- [A;b] -> [R;b’] using G/E
- Seperate pivot and free variables
- Find the special solution for null space from R
- Find particular solution