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by AHRA CHO
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5강 벡터 공간과 열벡터

이번 장의 목표

  1. 벡터 공간과 subspace의 의미를 이해한다.
  2. 행렬 A의 Column Space를 이해한다.
  3. Column Space와 b의 관계와 해집합의 유무를 이해한다.

한양대 이상화 교수님의 오픈 강의로 공부한 내용을 정리한 것입니다. 강의 영상과 강의 노트는 다음 링크에서 다운받아 작성하였습니다.
http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757

1단원에서는 nXn의 정사각 행렬을 가정하고 연립 방정식을 푸는 방법에 대해 집중하였다면, 2단원에서는 식의 개수(m)이 미지수의 개수(n)보다 적은 경우(m < n)를 다룬다. 가로가 긴 직사각 행렬의 경우에는 해가 존재하지 않거나, 해가 존재하는 경우에는 무수히 많이 존재한다.

Vector Space and Subspace

벡터공간

  • 벡터의 덧셈과 스칼라 곱셈에 닫혀있고,
  • 원점을 포함하며,
  • 항등원과 역원이 존재하는 공간을 벡터공간으로 정의한다.
  • 벡터 공간의 조건을 만족하는 부분집합을 subspace라고 정의한다(원점을 반드시 지나야)

Column Space of A : C(A)

행렬 A의 열벡터공간 C(A) : 행렬 A의 column 벡터들의 linear combination으로 이루어진 공간

Ax = b에서 b가 C(A)에 포함되어야 해가 존재한다 (Ax=b is sovable if and only if b can be expressed as a combination of the columns of A. Then b is in the column space).

A의 역행렬이 존재한다면 x=A'b로 해가 존재하고, b는 C(A)에 포함된다. 이 때 b가 무엇이든 C(A)에 속해야 하므고 C(A)는 whole space이다.