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by AHRA CHO
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10강 벡터의 직교성과 직선투영

이번 장의 목표

  1. 벡터이 직교하는 조건에 대해 알아본다.
  2. Orthogonal Complement의 조건과 4가지 부벡터공간의 관계를 알아본다.
  3. 직선 투영에 대해 알아본다.

한양대 이상화 교수님의 오픈 강의로 공부한 내용을 정리한 것입니다. 강의 영상과 강의 노트는 다음 링크에서 다운받아 작성하였습니다.
http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757

Orthogonality

벡터의 직교성

  • 벡터 xy가 직교하는 조건은 피타고라스의 정리를 통해 유도할 수 있다. ▶ x와 y의 내적이 0일 때
  • N개의 벡터가 서로 직교할 때, 벡터는 서로 독립적이다.
  • 서로 직교하는 Basis를 사용하여 벡터 공간을 정의하면 연산이 훨씬 간편해진다.

Subspace의 직교성

  • 벡터 뿐만 아니라 Subspace끼리도 직교할 수 있다.
  • Subspace 𝑆1의 모든 벡터가 또 다른 Subspace 𝑆2의 모든 벡터에 수직일 때, 𝑆1과 𝑆2는 직교 한다.
  • 4가지 부벡터공간에서 다뤘던 Column Space - Left Nullspace, Row Space - Nullspace의 관계의 연장
    • C(A) ⊥ N(AT)
    • C(AT) ⊥ N(A)

Orthogonal Complement

  • 부벡터공간에는 직교성 말고도 특별한 성질이 있는데,
    • Dim(C(A))+ Dim(N(AT)) = m
    • Dim(C(AT)) + Dim(N(A)) = n
  • 이렇게 서로 직교하면서, 차원의 합이 전체 벡터 공간을 이루는 두 공간을 Orthogonal Complement 하다고 한다.
  • 4가지 부벡터공간의 관계를 그림으로 표현하면 아래와 같다.

image1

Projection

  • 직선 a(또는 subspace S)에서 벡터 b와 가장 가까운 점을 찾는 과정을 Projection(투영)이라고 한다. 결국 벡터 b에서 a로 수선의 발을 내리는 과정이다.
  • 벡터 a와 b의 내적값은 a로부터 b에 내린 Projection 값으로 이해할 수 있다.
  • Projection의 문제는 Ax=b 연립방정식의 해가 존재하지 않을 때, 최적의 해(최소의 error)를 찾는 과정에서 자주 활용된다.

Projection matrix : P

  • Projection 과정도 행렬 P로 표현할 수 있다.
  • Projection Matrix P는 벡터 a의 성분으로만 이루어졌기 때문에 P는 a의 multiplication으로 이해할 수 있다.
  • 당연히 Projection point p도 a의 multiplication한 값이다.