3강 LU Decomposition
이번 장의 목표
- LU Decomposition 과정을 이해한다.
- LDU Decomposition 과정을 이해한다.
한양대 이상화 교수님의 오픈 강의로 공부한 내용을 정리한 것입니다. 강의 영상과 강의 노트는 다음 링크에서 다운받아 작성하였습니다.
http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757
Elementary Matrix
행끼리 계수를 곱해서 빼기, pivoting을 포함하여 가우스 소거법의 과정을 행렬로 표현할 수 있다. 소거법을 진행하면서 계수를 소거하기 위해서 빼고 곱했던 과정은 Lower Triangular Matrix 행렬 L에 표현되어 최종적으로 A = LU
의 형태로 표현할 수 있다.
Triangular Factorization (Decomposition)
연립방정식의 계수 행렬 A는 가우스 소거법을 통해 Lower Triangular Matrix L
과 Upper Triangular Matrix U
로 분할할 수 있다. 거꾸로 L과 U를 알면 A를 구할 수 있게 된다. A라는 비교적 복잡합 시스템을 그대로 이해할 수 없을 때 간단한 L과 U를 안다면, 시스템 A를 추론할 수 있다.
행렬 U는 다시 pivot들의 대각행렬 D와 U로 분할하여 A = LDU로 표현할 수 있다.
가우스 소거법 중간에 Pivot 자리에 0이 있으면 다른 행과 교체하여 진행하는데 이를 Pivoting이라고 하고 이 과정도 Permutation 행렬로 표현할 수 있다.
가우스 소거법의 결과로 생긴 행렬의 Pivot 자리에 0이 생기면 해당 연립방정식은 해를 구할 수 없는 Singular Case이다. 이런 경우에는 행의 위치를 아무리 바꾸어도 Pivot 자리에 적절한 값을 둘 수 없기 때문에 Permutation Matrix를 구할 수 없다. 반대로 Non-singular Case에는 가우스 소거법의 모든 과정을 행렬 연산으로 표현할 수 있고, PA = LU = LDU
로 표현할 수 있다.