AHRA CHO
by AHRA CHO
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3강 LU Decomposition

이번 장의 목표

  1. LU Decomposition 과정을 이해한다.
  2. LDU Decomposition 과정을 이해한다.

한양대 이상화 교수님의 오픈 강의로 공부한 내용을 정리한 것입니다. 강의 영상과 강의 노트는 다음 링크에서 다운받아 작성하였습니다.
http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757

Elementary Matrix

행끼리 계수를 곱해서 빼기, pivoting을 포함하여 가우스 소거법의 과정을 행렬로 표현할 수 있다. 소거법을 진행하면서 계수를 소거하기 위해서 빼고 곱했던 과정은 Lower Triangular Matrix 행렬 L에 표현되어 최종적으로 A = LU의 형태로 표현할 수 있다.

Triangular Factorization (Decomposition)

연립방정식의 계수 행렬 A는 가우스 소거법을 통해 Lower Triangular Matrix LUpper Triangular Matrix U로 분할할 수 있다. 거꾸로 L과 U를 알면 A를 구할 수 있게 된다. A라는 비교적 복잡합 시스템을 그대로 이해할 수 없을 때 간단한 L과 U를 안다면, 시스템 A를 추론할 수 있다.

행렬 U는 다시 pivot들의 대각행렬 D와 U로 분할하여 A = LDU로 표현할 수 있다.

가우스 소거법 중간에 Pivot 자리에 0이 있으면 다른 행과 교체하여 진행하는데 이를 Pivoting이라고 하고 이 과정도 Permutation 행렬로 표현할 수 있다.

가우스 소거법의 결과로 생긴 행렬의 Pivot 자리에 0이 생기면 해당 연립방정식은 해를 구할 수 없는 Singular Case이다. 이런 경우에는 행의 위치를 아무리 바꾸어도 Pivot 자리에 적절한 값을 둘 수 없기 때문에 Permutation Matrix를 구할 수 없다. 반대로 Non-singular Case에는 가우스 소거법의 모든 과정을 행렬 연산으로 표현할 수 있고, PA = LU = LDU로 표현할 수 있다.