1강 선형성의 정의와 1차 연립방정식
이번 장의 목표
- 선형성의 의미를 이해한다.
- 가우스 소거법의 과정을 이해한다.
한양대 이상화 교수님의 오픈 강의로 공부한 내용을 정리한 것입니다. 강의 영상과 강의 노트는 다음 링크에서 다운받아 작성하였습니다.
http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757
선형성의 정의
선형대수에서 다루는 주제들은 보통 행렬을 바탕으로 하는데, 행렬은 선형적인 관계를 나타내기 때문에 ‘선형적’이라는 것이 어떤 의미인지 이해하는 것이 중요하다.
흔히 ‘선형함수’라고 하면 직선을 그리는 1차 방정식을 떠올리는 경우가 많다 (나 또한 그랬고). 하지만 Superposition과 Homogeneity 성질을 모두 만족할 때만 선형적이라고 말할 수 있다. 즉, 선형 함수는 Superposition과 Homogeneity 2가지 조건을 동시에 만족해야 한다.
Gaussian Elimination (가우스 소거법)
중학교 때 배우던 1차 연립 방정식의 풀이법을 행렬로 바꾸어 계산하면 접근방법이 달라진다. 연립 방정식을 기하학적으로 접근하면, 두 직선의 교점을 찾는 문제이지만, 행렬로 접근하면 두 벡터에 각각 m, n배 하여 그 합이 특정한 값이 나오도록 하는 문제로 바뀐다. 기하학적인 방법이 직관적일 수는 있지만, 우리가 상상할 수 있는 공간이 최대 3차원으로 제한되어 있기 때문에 N차원의 방정식을 풀려고 하면 어려움을 겪는다. 하지만, 행렬로 접근하면 N차원의 행렬은 결국 N차원 벡터의 집합이기 때문에 훨씬 간단하게 풀 수 있다.
앞으로 행렬적인 접근 방법으로 N차원의 연립방정식을 푸는 방법, 역행렬을 찾는 방법 등에 대해서 다룰 것이다.